Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）函数h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k，（k∈R），试判断函数h（x）的零点个数？

Answer

（1）先表示出F（x）的表达式，再根据对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，我们可以求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式；
（2）将（1）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分离参数法，我们就可以求实数a的取值范围；
（3）利用导数法，求出h（x）=ln（1+x2）-f（x）-k的极值，将k与极值进行比较，即可得到结论
【解析】
（1）∵函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2
∴F（x）=x2+bsinx
依题意，对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x2-bsinx=x2+bsinx，
∴2bsinx=0对于任意实数x都成立，∴b=0
∴f（x）=x2-2．
（2）∵函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x2+2x+alnx，∴g′（x）=2x+2+ （x＞0）
∵函数g（x）在（0，1）上单调递减，
∴在区间（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x2+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x2+2x）在（0，1）上单调递减
∴a≤-4．
（3）∵函数h（x）=ln（1+x2）-f（x）-k═ln（1+x2）-x2+1-k，
∴h′（x）=
令h′（x）==0，解得x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：

x （-∞-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
y' + - + -
h（x） 单调递增 极大值ln2+ 单调递减 极小值1 单调递增 极大值ln2+ 单调递减

∴①当，函数没有零点；
②当1＜k＜ln2+，函数有四个零点；
③当k=ln2+，函数有两个零点；
④当k=1，函数有三个零点；
⑤当k＜1，函数有两个零点；