Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=，圆O的半径为3，求OA的长．

Answer

连接OC，在△AOB中，利用等腰三角形三线合一得到OC⊥AB，再结合切线的判定定理，得到AB与圆O相切于C点．又因为ED是圆O的直径，可得∠E+∠EDC=90°，利用等角的余角相等，得到∠BCD=∠E，利用公共角∠CBD=∠EBC，得到△BCD∽△BEC，所以BC2=BE•BD．最后在Rt△CDE中，利用正切的定义得到=，所以==，设BD=x，则BC=2x，可得（2x）2=x（x+6），解之得x=2，从而得到OA=OB=BD+OD=5．
【解析】
连接OC，
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．
又∵ED是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，==，可得BC2=BE•BD…①
∵Rt△CDE中，tan∠CED==，
∴==，设BD=x，则BC=2x
代入①，得（2x）2=x（x+6），解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5