Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=，知AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，所以AE⊥CD．由AB∥CD，知AE⊥AB．由此能够证明平面AEF⊥平面PAB．
（Ⅱ）法一：由AE⊥平面PAB，AE⊂平面PAE，知平面PAE⊥平面PAB，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由AE⊥CD，PA∩AE=A，知CD⊥平面PAE，由CD⊂平面PCD，知平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面，由此能够求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．
（Ⅱ）法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），则，，，由AE⊥平面PAB，知平面PAB的一个法向量为，求出平面PCD的一个法向量．由此能求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，
∴AD2=DE2+AE2，
∴∠AED=90°，即AE⊥CD．
∵AB∥CD，∴AE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE．
∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB，
∵AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，
∴CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAE．
∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面…（8分）
所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．…（9分）
在RT△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即．…（10分）
∵PA=2，∴．
所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）
（Ⅱ）解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，
建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），
则，，，…（7分）
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAB，
故平面PAB的一个法向量为，…（8分）
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，令y=2，
则．…（10分）
∴==．
所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）