Question

在圆x²+y²=5x内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项a₁，最大弦长为a_n，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为（ ）
A．126
B．86
C．77
D．50

Answer

根据题意可求得a1=4，an=5，结合等差数列{an}的公差d∈[，]可得到n的取值，从而可得n的取值集合，继而得到答案．
【解析】
∵圆x2+y2=5x的标准方程为：+y2=，
∴该圆的圆心坐标为：O′（，0），半径为，
∴过点P（，）的弦中过点P的弦与PO′垂直时弦长最小，设最小弦长为l，
则l=2=4，
最大弦长为过点P的直径d=4，即an=5，
∵该圆的过点P的n条弦长成等差数列{an}，其公差d∈[，]，
∴an=a1+（n-1）d，
∴5=4+（n-1）d，
∴n-1=，①
∵≤d≤，
∴≤≤，代入①有：≤n-1≤，
∴3.5≤n≤7.5，又n为正整数，
∴n=4，5，6，7．
∴n的取值集合N={4，5，6，7}，
∴n的取值集合内所有元素平方和S=42+52+62+72=126．
故选A．