Question

如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

Answer

（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．
（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，-y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（-2，0），知=，由此能求出圆T的方程．
法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），设sinθ＞0，由T（-2，0），得=，由此能求出圆T的方程．
（3）法一：设P（x，y），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值． 
法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．
【解析】
（1）依题意，得a=2，，
∴c=，b==1，
故椭圆C的方程为．…（3分）
（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，
设M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨设y1＞0．
由于点M在椭圆C上，所以．     （*）          …（4分）
由已知T（-2，0），则，，
∴
=（x1+2）2-
=
=．…（6分）
由于-2＜x1＜2，
故当时，取得最小值为．
由（*）式，，故，
又点M在圆T上，代入圆的方程得到．
故圆T的方程为：．…（8分）
方法二：点M与点N关于x轴对称，
故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），
则
=（2cosθ+2）2-sin2θ
=5cos2θ+8cosθ+3
=．…（6分）
故当时，取得最小值为，
此时，
又点M在圆T上，代入圆的方程得到．
故圆T的方程为：． …（8分）
（3）方法一：设P（x，y），
则直线MP的方程为：，
令y=0，得，
同理：，…（10分）
故      （**） …（11分）
又点M与点P在椭圆上，
故，，…（12分）
代入（**）式，
得：．
所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．               …（14分）
方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．
则直线MP的方程为：，
令y=0，得，
同理：，…（12分）
故．
所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．…（14分）