Question

如图，过抛物线y²=4x的焦点任作一条直线交抛物线于A，D两点，若存在一定圆与直线交于B，C两点，使|AB|•|CD|=1，则定圆方程为    ．

Answer

求出抛物线焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线BC方程与抛物线y2=4x联解，证出x1x2=1．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，结合|AB|•|CD|=1恒成立，通过比较系数可得|BF|=|CF|=1，所以B、C在以F为圆心，半径为1的圆上，由此不难确定所求圆的方程．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线焦点为F
∵抛物线方程为y2=4x
∴2p=4，得=1，所以F（1，0），直线BC方程可设为y=k（x-1）
由消去y，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
结合根与系数的关系，得x1x2==1
根据抛物线定义，得|AF|=x1+=x1+1，|DF|=x2+1，
∵不论直线BC怎样变化，恒有|AB|•|CD|=（|AF|-|BF|）（|DF|-|CF|）=1，
∴（x1+1-|BF|）（x2+1-|CF|）=1，结合x1x2=1，得|BF|=|CF|=1
因此不论直线BC如何变化，总有点B、C到F的距离总等于1，说明B、C在以F为圆心，半径为1的圆上，所以定圆方程为（x-1）2+y2=1
故答案为：（x-1）2+y2=1