Question

已知△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，．
（1）求sinC的值；
（2）若角A的平分线AD的长为2，求b的值．

Answer

（1）由A，B，C都为三角形的内角，且A=2B，得到B为锐角，由sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，再由cosA=cos2B，利用二倍角的余弦函数公式化简后将sinB的值代入求出cosA的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简后将各自的值代入即可求出sinC的值；
（2）由AD为角平分线，得到∠DAC=∠B，由sinB及cosB的值，得到sin∠DAC与cos∠DAC的值，在三角形ADC中，先利用正弦定理求出DC的长，再利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
【解析】
（1）∵△ABC的角A，B，C，A=2B，
∴B为锐角，又sinB=，
∴cosB==，
∴cosA=cos2B=1-2sin2B=，sinA==，
则sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=；
（2）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，又∠BAC=2∠B，
∴∠CAD=∠B，
∴sin∠CAD=sinB=，cos∠CAD=cosB=，
在△ADC中，AD=2，AC=b，sin∠CAD=，sinC=，
根据正弦定理=得：DC==，
利用余弦定理得：DC2=AD2+AC2-2AD•AC•cos∠CAD，
即（）2=4+b2-b，
整理得：b2-b+=0，
解得：b=或b=．