Question

如图，在四棱锥D′-ABCE中，底面为直角梯形，AB=2BC=2CE=2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥EB；
（2）若D′A⊥D′E，D′A=D′E，求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．

Answer

（1）取AB中点H，连接CH，则CH∥AE，由AB=2BC=2CE=2，可得四边形BCEH为正方形，从而可得BE⊥AE，进而可证BE⊥平面D′AE，故AD′⊥EB；
（2）D′在底面上的射影为AE中点G，设AC∩HE=0，过G作AB的垂线，垂足为F，连接D′F，过G作D′F的垂线，垂足为M，则GM等于O到面ABD′的距离，求出GM，AO的长，即可得到直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．
（1）证明：∵平面D′AE⊥平面ABCE，
∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上
取AB中点H，连接CH，则CH∥AE
∵AB=2BC=2CE=2，∴四边形BCEH为正方形，
∴BE⊥CH，CH∥AE
∴BE⊥AE
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面D′AE
∴AD′⊥EB；
（2）【解析】
由题意可知，D′在底面上的射影为AE中点G，设AC∩HE=0，则OG∥AB，∴G与O到平面ABD′的距离相等
过G作AB的垂线，垂足为F，连接D′F，过G作D′F的垂线，垂足为M，
则GM等于O到面ABD′的距离
在直角△D′GF中，FG=，D′G-，AO=，∴GM=
设直线AC与平面ABD′所成角为α，则sinα==
∴直线AC与平面ABD′所成角的正弦值为．