Question

已知数列{a_n}满足：S_n=1-a_n（n∈N^*），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）试求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：{b_n}=，试求{b_n}的前n项和公式T_n；
（III）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为P_n，求证：P_n＞2n-．

Answer

（Ⅰ）由Sn=1-an知Sn+1=1-an+1，故an=1=an（n∈N*），由此能导出{an}的通项公式．
（Ⅱ）bn==n•2n，（n∈N*），所以Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，再由错位相减法能导出Tn=（n-1）×2n+1=2，（n∈N*）．
（III）由cn==+=+=1-+1+=2-（-），能导出Pn＞2n-（+++…+）=2n-=2n-+＞2n-，（n∈N*）．
【解析】
（Ⅰ）Sn=1-an①
∴Sn+1=1-an+1②
②-①an+1=-an+1+an
∴an=1=an（n∈N*）又n=1时，a1=1-a1
∴a1=，an=•=（n∈N*）
（Ⅱ）bn==n•2n，（n∈N*）
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③
2Tn=1×2^{2}+2×32+3×24+…+n×2n+1④
③-④得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1
整理得：Tn=（n-1）×2n+1=2，（n∈N*）
（III）∵cn==+=+=1-+1+=2-（-）
又-==＜=＜
∴Pn＞2n-（+++…+）=2n-=2n-+＞2n-，（n∈N*）