Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，2），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求m的取值范围．

Answer

（1）由题意知，则焦点在Y轴上，且a=2，b=c，又由a2=b2+c2，联立即可求得椭圆的方程；
（2）由于直线与椭圆相交且有两个互异的交点，故直线斜率存在．联立直线方程与曲线方程，根据方程的根与系数的关系，得到与斜率有关的含参数m等价关系，求出m即可．
【解析】
（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在Y轴上，设椭圆方程为，
由题意知a=2，b=c，又a2=b2+c2，则，
所以椭圆方程为--------------------------------------（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，直线l的斜率存在，
设其方程为y=kx+m，与椭圆方程联立
即，
则（2+k2）x2+2mkx+m2-4=0，△=（2mk）2-4（2+k2）（m2-4）＞0
由韦达定理知；--------------------------（6分）
又，即有（-x1，m-y1）=2（x2，y2-m），
∴-x1=2x2，
∴，
∴--------------------------------------------（8分）
整理得（9m2-4）k2=8-2m2
又9m2-4=0时不成立，所以--------------------（10分）
得，此时△＞0
所以m的取值范围为（-2，-）．----------------------------（12分）