Question

已知向量=（cos，-1），=（sin，cos²），设函数f（x）=+1．
（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-a，求f（x）的取值范围．

Answer

（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（x-）+1，由f（x）=，求得sin（x-）=．再由x∈[0，]，求得cos（x-）=．
再由cosx=cos[（x-）+]，利用两角和差的余弦公式求得结果．
（2）在△ABC中，由条件2bcosA≤2c-a 可得2sinAcosB≥sinA，故 cosB≥，B∈（0，]，由此求得 f（B）的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）=+1=sin cos-cos2=-+1=sin（x-）+1．…（3分）
∵f（x）=，∴sin（x-）=；  又∵x∈[0，]，∴x-∈[-，]，故 cos（x-）=．
∴cosx=cos[（x-）+]=cos（x-）cos-sin（x-）sin=． …（6分）
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c-a，可得 2sinBcosA≤2sinC-sinA，∴2sinBcosA≤2sin（A+B）-sinA，
∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）-sinA，2sinAcosB≥sinA，∴cosB≥，∴B∈（0，]．…（10分）
∴sin（B-）∈（-，0]，即 f（B）=sin（B-）+，∴f（B）∈（0，]．