Question

（理）（1）证明不等式：ln（1+x）＜（x＞0）．
（2）已知函数f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）若关于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值．

Answer

（1）令h（x）=ln（1+x）-，证明h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0），从而可得结论；
（2）求导函数，令f′（x）=0，可得x=0或x=a2-2a，根据函数f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；
（3）关于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于在[0，+∞）上恒成立，当x＞0时，b≤1+-，构造函数g（x）=1+-，利用ln（1+x）＜（x＞0），可得g（x）在（0，+∞）上单调增，从而可求实数b的最大值．
（1）证明：（1）令h（x）=ln（1+x）-，则h′（x）=
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）=0
∴ln（1+x）-＜0
∴ln（1+x）＜（x＞0）．
（2）【解析】
求导函数，可得f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=0或x=a2-2a，
∵函数f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a2-2a≤0
∵f（x）在（0，+∞）上有意义
∴a≥0
∴0≤a≤2；
（3）【解析】
关于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于在[0，+∞）上恒成立，
∵0，∴b≥0
当x＞0时，b≤1+-
构造函数g（x）=1+-，则
由（1）知，ln（1+x）＜（x＞0）．
以ex代1+x，可得，
∵x＞0，∴-＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调增
当x＞0且x→0时，g（x）→1
∴b≤1
∴实数b的最大值为1