Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，S_n=n²+2n+λ则{a_n}为等差数列是λ=O的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件

Answer

先根据an=Sn-Sn-1求得n≥2时，数列的通项公式，a1=S1，由{an}为等差数列，可推出λ=O，反之，由λ=O，可推出{an}为等差数列，由充要条件的定义可得答案．
【解析】
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1，∴a2=5，a3=7，
而a1=S1=1+2+a=3+λ，∵{an}为等差数列，∴d=7-5=2
∴a1=a2-d=3=3+λ，∴λ=0，
即由{an}为等差数列，可推出λ=O；
由λ=O，可知Sn=n2+2n，同样有，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1，
a1=S1=3，代入an=2n+1也适合，故an=2n+1，（n∈N，n≥1），可得
an+1-an=2（n+1）+1-2n-1=2，为常数，即数列{an}为等差数列，
即由λ=O，可推出{an}为等差数列．
故{an}为等差数列是λ=O的充要条件．
故选B