Question

如图，ABCD为正方形，PA丄面ABCD，E，F分别为BC、CD的中点，PA=AD=2．
（1）求证：面PFD丄面PAD；
（2）求面PAE与面PFD所成的锐二面角．

Answer

（1）先证明CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定，证明面PFD丄面PAD；
（2）建立开具直角坐标系，求出平面APE的一个法向量，平面PDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得面PAE与面PFD所成的锐二面角．
（1）证明：∵PA丄面ABCD，CD⊂面ABCD，∴PA丄CD
∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD
∵PA∩DA=A，∴CD⊥平面PAD
∵CD⊂平面PCD
∴面PFD丄面PAD；
（2）建立如图所示的直角坐标系，

则，=（2，1，0），
设平面APE的一个法向量为，则，∴可取
设平面PDF的一个法向量为，∵
∴，∴可取
∴===-
∴面PAE与面PFD所成的锐二面角为arccos．