Question

已知函数，（x＞0），g（x）=ax²-x（x＞0，a＞0），F（x）=f（x）-g（x）
（1）若F（x）在x=2处取得极值，求a；
（2）求函数F（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）与函数g（x）的图象在公共点P（x，y）处有相同的切线，求证：2＜x＜3．

Answer

（1）由F′（x）=x2-x-2ax+1，F′（2）=0，得4-2-4a+1=0，由此能求出a．
（2）由F′（x）=x2-x-2ax+1=x2-（1+2a）x+1，方程x2-（1+2a）x+1=0判别式△=（1+2a）2-4=（2a+3）（2a-1），由此能求出函数F（x）的单调区间．
（3）由f（x）、g（x）在公共点P（x，y）处有相同的切线，知，由此能够证明2＜x＜3．
【解析】
（1）∵f（x）=-+1，（x＞0），g（x）=ax2-x（x＞0，a＞0），
∴F（x）=f（x）-g（x）=，
∴F′（x）=x2-x-2ax+1，
由F′（2）=0，得4-2-4a+1=0，
∴a=．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=，
∴F′（x）=x2-x-2ax+1=x2-（1+2a）x+1，
方程x2-（1+2a）x+1=0判别式△=（1+2a）2-4=（2a+3）（2a-1），
当0＜a时，△≤0，F（x）在（0，+∞）单调增，
当a＞时，方程x2-（1+2a）x+1=0的两根的两根均为正数，
∴F（x）在（0，），（，+∞）单调增，
在（，）单调减．
（3）∵f（x）、g（x）在公共点P（x，y）处有相同的切线，
∴，
∴，
令φ（x）=x3-3x-6，（x＞0）
则φ′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1），
∴φ（x）在（0，1）单调减，在（1，+∞）单调增，
又∵φ（0）=-6，φ（1）=-8，φ（2）=-4＜0，φ（3）=12＞0，
∴φ（x）=0在（0，+∞）上仅有唯一解且解在（2，3）内，
∴2＜x＜3．