Question

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[-1.5]=-2，[2.5]=2，定义函数{x}=x-[x]，则给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]；②方程{x}=有无数个解；③函数{x}是周期函数；④函数{x}是增函数．其中正确的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

Answer

要使解析式有意义，得出函数{x}的定义域为R，由周期函数的定义证明此函数为周期函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数．
【解析】
∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴③是正确的，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①错误，
当x=时，{x}=，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=+k时（k∈Z），{x}=，∴②是正确的，
∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴④错误
故选D．