Question

已知f（x）=ax³-x²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程f（x）=0有三个实根．
（1）求b的值；
（2）求实数a的取值范围．

Answer

（1）函数在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数，可知当x=0时，f′（x）取得极小值，从而可求b的值；
（2）方程f（x）=0有三个实根，∴极大值大于0极小值小于0，即，从而可解．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2-2x+b，函数在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数．
∴当x=0时，f′（x）取得极小值．∴f′（0）=0．∴b=0
（2）∵方程f（x）=0有三个实根，∴a≠0
∴f′（x）=3ax2-2x+b=0的两根分别为．
∴f′（x）＞0在（-∞，0）时恒成立，f′（x）≤0在[0，3]时恒成立
由二次函数的性质可知，∴
∵方程f（x）=0有三个实根，∴极大值大于0极小值小于0，即
∴当时，；   当时，