Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，求的值．

Answer

（1）根据题意可证得=2，从而可求得an+1的通项公式，继而可得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可知an=2n-1，再由=可求得bn=（n2+n），利用裂项法可求得S=++…+的值．
证明：（1）an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又a1=1，
∴a1+1≠0，an+1≠0，
=2，
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
即an+1=2n，因此an=2n-1．      …（6分）
（2）∵=，
∴=，
∴2bn-n=n2，
即bn=（n2+n）．…（9分）
∴S=++…+
=2（1-+-+…+-）
=2（1-）
=．…（12分）