Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥AD，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
求证：
（1）BC∥平面EFG；
（2）平面EFG⊥平面PAB．

Answer

（1）欲证BC∥平面EFG，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC与平面EFG内直线平行，而EF∥BC，BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，满足定理条件；
（2）欲证平面EFG⊥平面PAB，只需证明EF⊥平面PAB即可，PA⊥EF，AB⊥EF，PA∩AB=A即可证明．
（1）证明：∵E，F分别是线段PA、PD的中点，∴EF∥AD．…（2分）
又∵ABCD为正方形，∴BC∥AD，∴EF∥BC．…（4分）
又∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴BC∥平面EFG．…（6分）
（2）证明：∵PA⊥AD，又EF∥AD，
∴PA⊥EF．…（8分）
又ABCD为正方形，∴AB⊥EF，
又PA∩AB=A，∴EF⊥平面PAB，…（10分）
又EF⊂平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAB．…（12分）