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如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,O是AC与BD的交点...

如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,O是AC与BD的交点,SO⊥平面ABCD,E是侧棱SC的中点,异面直线SA和BC所成角的大小是60°.
(I)求证:直线SA∥平面BDE;
(II)求直线BD与平面SBC所成角的正弦值.

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(I)连接EO,由题设条件推导出EO是△ASC的中位线,由此能够证明直线SA∥平面BDE. (II)过点O作CB的平行线作x轴,过O作AB的平行线作y轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出直线BD与平面SBC所成角的正弦值. 【解析】 (I)如图,连接EO, ∵四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,O是AC与BD的交点, ∴O是AC的中点, ∵E是侧棱SC的中点, ∴EO是△ASC的中位线, ∴EO∥SA, ∵SA⊂面ASC,EO⊈面ASC, ∴直线SA∥平面BDE. (II)过点O作CB的平行线作x轴,过O作AB的平行线作y轴,以OS为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, ∵四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形, O是AC与BD的交点,SO⊥平面ABCD,E是侧棱SC的中点, ∴SO=2, ∴B(1,1,0),C(-1,1,0),S(0,0,2),D(-1,-1,0), ∴,,, 设面SBC的法向量为, 则,, ∴, ∴, 设直线BD与平面SBC所成角为θ, 则sinθ=|cos<>|=||=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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