Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．
（I）求证：直线SA∥平面BDE；
（II）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．

Answer

（I）连接EO，由题设条件推导出EO是△ASC的中位线，由此能够证明直线SA∥平面BDE．
（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出直线BD与平面SBC所成角的正弦值．
【解析】
（I）如图，连接EO，
∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，
∴O是AC的中点，
∵E是侧棱SC的中点，
∴EO是△ASC的中位线，
∴EO∥SA，
∵SA⊂面ASC，EO⊈面ASC，
∴直线SA∥平面BDE．
（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，
O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，
∴SO=2，
∴B（1，1，0），C（-1，1，0），S（0，0，2），D（-1，-1，0），
∴，，，
设面SBC的法向量为，
则，，
∴，
∴，
设直线BD与平面SBC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|=||=．