Question

在平面直角坐标系内已知两点A（-1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．
（I）求动点P所在曲线C的方程；
（II）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

Answer

（I）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程．
（II）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．
【解析】
：（I）依据题意，有=（x+1，y），=（x-1，y），
∵，∴x2-1+2y2=1，
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是 +y2=1．
（II）因直线l过点B，且斜率为k=-，故有l：y=-（x-1）．
联立方程组，得2x2-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=．
又 ++=，点G与点H关于原点对称，于是，可得点H（-1，-）、G（1，）．
若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y-=（x-），l2：y=-x．
联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（，-）．
因此，可算得|O1H|==，|O1M|==．
所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（，-），半径为 ．