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椭圆manfen5.com 满分网的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为manfen5.com 满分网,倾斜角为45°的直线l过点F.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为F1,问抛物线y2=4x上是否存在一点M,使得M与F1关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)确定抛物线y2=4x的焦点与准线方程为x=-1,利用椭圆焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,建立方程,即可求得椭圆的方程; (Ⅱ)根据倾斜角为45°的直线l过点F,可得直线l的方程,由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为F1(-1,0),利用M(x,y)与F1关于直线l对称,可得M的坐标,由此可得结论. 【解析】 (Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,(2分) ∴a2-b2=1  ①(3分) 又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为,∴得上交点为, ∴  ②(4分) 由①代入②得2b4-b2-1=0,解得b2=1或(舍去), 从而a2=b2+1=2 ∴该椭圆的方程为     (6分) (Ⅱ)∵倾斜角为45°的直线l过点F, ∴直线l的方程为y=x-1,(7分) 由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为F1(-1,0),设M(x,y)与F1关于直线l对称,(8分) 则得 (10分)   解得,即M(1,-2) 又M(1,-2)满足y2=4x,故点M在抛物线上.   (11分) 所以抛物线y2=4x上存在一点M(1,-2),使得M与F1关于直线l对称.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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