Question

已知函数f（x）=（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列{a_n}满足：，求证：．

Answer

（Ⅰ）确定函数的定义域，求导数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值；
（Ⅱ）分类讨论：①当e1-a＜e2，即a＞-1时，f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2）上是减函数，可得函数的最值，利用函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，可得实数a的取值范围；
②当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e2]上是增函数，可得函数的最值，利用函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，从而可得结论；
（Ⅲ）先证明lnx≤x-1，从而可证an+1=lnan+an+2≤2an+1，由此可证结论．
（Ⅰ）【解析】
函数的定义域为（0，+∞），求导数，
令f′（x）=0得x=e1-a，
当x∈（0，e1-a）时，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数；
当x∈（e1-a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是减函数；
∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1，无极小值．
（Ⅱ）【解析】
①当e1-a＜e2，即a＞-1时，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2）上是减函数，
∴…（7分）
∵若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，
∴ea-1≥1
∴a≥1
∵a＞-1，∴a≥1
②当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e2]上是增函数，
∴f（x）在区间（0，e2]上的最大值为f（e2）=
∴原问题等价于
∴a≥e2-2
∵a≤-1，∴无解
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）证明：令a=1，由（Ⅰ）知，，∴lnx≤x-1，
∵a1=1，假设，则ak+1=lnak+ak+2＞1，故
从而an+1=lnan+an+2≤2an+1
∴
即，
∴．