Question

设数列{a_n}的前项n和为S_n，点均在函数y=2x-1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设是数列{b_n}的前n项和，求证：T_n＜1．

Answer

（1）由题意可得sn=2n2-n，利用n=1时a1=s1=1，n≥2时，an=sn-sn-1观察是合为一式，还是分段表示；
（2）由（1）知an=4n-3，从而可利用裂项法求得bn=-，继而可求Tn=b1+b2+…+bn的值，可证得Tn＜1．
【解析】
（1）由条件知=2n-1，即sn=2n2-n．…（2分）
当n≥2时，an=sn-sn-1=（2n2-n）-[2（n-1）2-（n-1）]
=4n-3．…（4分）
又n=1时，a1=s1=1符合上式，
所以an=4n-3（n∈N+）；…（6分）
证明：（2）bn===（-）．…（8分）
∴Tn=b1+b2+…+bn
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]
=（1-）．…（10分）
∵n∈N+
∴-＜0，
∴1-＜1，即Tn＜1．…（12分）