Question

已知函数，其中a＞0．设它们的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）试用a表示b；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（3）求b的最大值．

Answer

（1）设公共点的坐标，求导函数，利用在该点处的切线相同，即可用a表示b；
（2）求导函数，确定F（x）的单调性，从而可求函数的极值；
（3）由（1）知，令h（t）=（t＞0），求导数，确定函数的单调性，从而可得b的最大值
【解析】
（1）设公共点的坐标为（x，y），
求导函数，则f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
∴，
∴x=a或x=-3a（舍去）
∴b=；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=
∴F′（x）=
∴F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数
∴x=a时，F（x）有极小值0，无极大值；
（3）由（1）知，令h（t）=（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）
当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当t（1-3lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0，
∴h（t）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数
∴h（t）在（0，+∞）上的最大值即为最大值h（）=
即b的最大值为．