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已知函数f(x)=,则f(f(x))= 下面三个命题中,所有真命题的序号是 . ...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网,则f(f(x))=   
下面三个命题中,所有真命题的序号是   
①函数f(x)是偶函数;
②任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立;
③存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.
根据函数的对应法则,可得不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1.根据函数奇偶性的定义,可得f(x)是偶函数,①正确;根据函数的表达式,结合有理数和无理数的性质,得②正确;取x1=-,x2=0,x3=,可得A(,0)、B(0,1)、C(-,0)三点恰好构成等边三角形,得③正确. 【解析】 ∵当x为有理数时,f(x)=1;当x为无理数时,f(x)=0 ∴当x为有理数时,ff((x))=f(1)=1;当x为无理数时,ff((x))=f(0)=1 即不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1 接下来判断三个命题的真假 对于①,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数, 所以对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),故①正确; 对于②,若x是有理数,则x+T也是有理数; 若x是无理数,则x+T也是无理数 ∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故②正确; 对于③,取x1=-,x2=0,x3=,可得f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0 ∴A(,0),B(0,1),C(-,0),恰好△ABC为等边三角形,故③正确. 故答案为:1     ①②③
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考点分析:
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