Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0，即使得对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．求导函数可得．…（2分）
当a＜0时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．…（3分）
当a＞0时，令f'（x）=0得或（舍）．
函数f（x），f'（x）随x的变化如下：

x
f'（x） + -
f（x） ↗ 极大值 ↘

所以 f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．…（6分）
综上所述，当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
当a＜0时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=0，即对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（7分）
当a＞0时，
①当，即0＜a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=0，即对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（10分）
②当，即a＞1时，f（x）在上单调递增，所以 ．
又 f（1）=0，所以 ，与对于任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0矛盾．…（12分）
综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）