Question

已知数列{a_n}满足：，且．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（3）若S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1，求S_2n+1．

Answer

（1）直接把n=1，2，3代入已知递推公式中即可求解a2，a3，a4；
（2）由等比数列的定义，只要证明为常数即可，然后结合等比数列的通项公式可求
（3）由a2n=bn+2，a2n+1=a2n-4n=bn+2-4n，可利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解
（1）【解析】
∵，
∴，…（2分）
（2）证明：由题意可得，当=
∴，
∴数列{bn}是以-为首项，以为公比的等比数列
∴…（6分）
（3）【解析】
∵a2n=bn+2，a2n+1=a2n-4n=bn+2-4n
∴S2n+1=a1+a2+…+a2n+a2n+1=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+a5+…+a2n+1）
=（b1+b2+…+bn+2n）+[a1+（b1-4×1）+（b2-4×2）+…+（bn-4×n）+2n]
=a1+2（b1+b2+…+bn）-4×（1+2+…+n）+4n
=．…（12分）