Question

已知函数f（x）=ax_³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（1）当a=时，若不等式f'（x）＞-对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，讨论关于x的方程f（x）=k在[-1，+∞）上实数根的情况．

Answer

（1）求导函数，利用不等式f'（x）＞-对任意x∈R恒成立，可得x2+2bx+b＞0恒成立，利用判别式可得b的取值范围；
（2）利用函数f（x）为奇函数，函数f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，求出函数解析式，从而确定函数的单调性，求出函数的极值，再分类讨论，即可得到结论．
【解析】
（1）当a=时，f′（x）=x2+2bx+b-，
依题意f′（x）=x2+2bx+b-＞，即x2+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b2-4b＜0，解得0＜b＜1
所以b的取值范围是（0，1）；
（2）∵函数f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴b=0，∴函数f（x）=ax3-ax
∴f′（x）=3ax2-a
∵函数f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0
∴a=1
∴f（x）=x3-x，f′（x）=3x2-1
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上单调递增，在（-，）上单调递减
由f（x）=0得x=±1，x=0
f（x）在[-1，+∞）上图象如图所示
∵f（）=，f（）=-，
∴当k＜-时，f（x）=k在[-1，+∞）上没有实数根；
当k＞或k=-时，f（x）=k在[-1，+∞）上有且只有一个实数根；
当k=或-＜k＜0时，f（x）=k在[-1，+∞）上有两个实数根；
当0＜k＜时，f（x）=k在[-1，+∞）上有三个实数根．