Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）若k=2，求以M（2，f（2））为切点的曲线的切线方程；
（2）若函数f（x）≤0恒成立，确定实数K的取值范围；
（3）证明：．

Answer

（1）利用导数研究函数在x=2处的导数，得到切线的斜率，然后根据点斜式可得切线方程；
（2）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范围；
（3）由（2）知ln（x-1）＜x-2，则，取x=3，4，5…n，n+1累加可得结论．
【解析】
（1）k=2，f（x）=ln（x-1）-2x+3
，则f′（2）=-1
∴k=-1，切线方程为x+y-1=0；
（2）得
当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，
当k＞0时，函数f（x）在单调递增，在单调递减，
当时，f（x）取最大值，∴k≥1
（3）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2
∴取x=3，4，5…n，n+1累加得
＜．