Question

在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）且AF₂=2F₂B，求直线l的方程．

Answer

（I）根据右焦点F2也是拋物线C2：y2=4x的焦点，且|MF2|=，可求出F2，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C1的方程；
（II）设l的方程为x=ky+1，联立消去x，得到关于y的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理结合条件：“AF2=2F2B”得到关于k的方程，即可求得k值，从而求得直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得，即．
将代入抛物线方程得（2分），进而由及a2-b2=1解得a2=4，b2=3．故C1的方程为（4分）
（Ⅱ）依题意，，故直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=ky+1代入，整理得（3k2+4）y2+6ky-9=0（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由AF2=2F2B得y1=-2y2（8分）故（10分）
消去y2整理得解得．故所求直线方程为（12分）