Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer

（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD-AE•AC．
证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，（1分）
又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）
则A，D，E，F四点共圆（2分）
∴∠DEA=∠DFA（1分）
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）
又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB2（2分）