Question

双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（ ）
A．[4-4，4）
B．
C．
D．

Answer

因为双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，所以a+b+c=4，把a+b用c表示，代入a2+b2=c2中，化简，再用均值不等式就可得到c的一个范围，再根据a2+b2=c2，得到c＜a+b，代入a+b+c=4，又可得到c的一个范围，两个范围取公共部分，就可得到半焦距c的取值范围．
【解析】
∵双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，
∴2a+2b+2c=8，a+b+c=4，∴a+b=4-c
在双曲线中，a2+b2=c2，
∴a2+b2+2ab-2ab=c2，即（a+b）2-2ab=c2，
∴（4-c）2-2ab=c2，ab=
∵a＞0，b＞0，∴ab≤=
即≤，化简得，c2+8c-16≥0
解得，c≥4-4，或c≤-4-4
又∵a2+b2=c2，
∴c＜a+b，
∴2c＜a+b+c=4，c＜2
∴半焦距c的取值范围是[4-4，2）
故选D