Question

如图，长方体AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1，E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点，
（1）试在棱A₁D₁上找一点H，使EH∥平面FGB₁；
（2）求四面体EFGB₁的体积．

Answer

（1）取A1D1的中点P，D1P的中点H，连接DP、EH，通过EH∥平面FGB1，说明EH∥B1G，得到HD1=A1D1．
（2）以D为原点，直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量，求出E到平面FGB1的距离d，底面，然后求四面体EFGB1的体积．
【解析】
（1）取A1D1的中点P，D1P的中点H，连接DP、EH，则DP∥B1G，EH∥DP
∴EH∥B1G，又B1G⊂平面FGB1，∴EH∥平面FGB1．
即H在A1D1上，且HD1=A1D1，使EH∥平面FGB1                              （6分）
（2）以D为原点，直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则E（0，0，），F（0，1，1），B1（1，2，1），G（，2，0），
∴，，，
设平面FGB1的法向量
由得，∴x=-2，y=2，
∵E到平面FGB1的距离d==
，，，
∵=，
∴sin∠FB1G=．
∴．
         （12分）