Question

椭圆的中心为原点O，焦点在y轴上，离心率，过P（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求△AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．

Answer

设椭圆的方程为，直线l的方程为y=kx+1，由，知，把椭圆方程化为3x2+y2=3b2，联立，得（3+k2）x2+2kx+1-3b2=0．由此能求出△AOB面积的最大值为和取得最大值时椭圆的方程．
【解析】
设椭圆的方程为，
直线l的方程为y=kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴，则椭圆方程可化为，即3x2+y2=3b2，
联立，得（3+k2）x2+2kx+1-3b2=0 （*）
有，
而由已知，有x1=-2x2，代入得，
∵k≠0
∴
=
=
=
≤
=，
当且仅当时取等号                                                    （8分）
由，得，将，代入（*）式得，
所以△AOB面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为．（13分）