Question

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．

（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；
（Ⅱ）证明：AC₁⊥BD；
（Ⅲ）当EF⊥AB时，求线段AC₁的长．

Answer

（I）△ABC1中根据中位线定理，得到FM∥BD，结合线面垂直的判定定理，可得BD∥平面EMF．
（II）根据菱形的对角线相互垂直，得到C1O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC1，从而得到平面AC1O内的直线AC1BD．
（III）等边三角形△ABD中，E为AB中点，得到DE⊥AB，再结合EF⊥AB，得到平面DEF⊥AB，所以C1E⊥AB，结合E为AB中点，可得AC1=BC1=4．
【解析】
（Ⅰ）∵点F，M分别是C1D，C1B的中点，
∴△BC1D中，FM是中位线，可得FM∥BD．                 …（2分）
又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，
∴BD∥平面EMF．           …（4分）
（Ⅱ）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．    …（5分）
连接AO，C1O
∴在三棱锥C1-ABD中，C1O⊥BD，AO⊥BD．
又 C1O∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC1．           …（7分）
又∵AC1⊂平面AOC1，
∴BD⊥AC1．                 …（9分）
（Ⅲ）连接DE，C1E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60°，
所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．                …（10分）
∵E为AB中点，∴DE⊥AB．
又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．
∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1．…（12分）
又∵C1E⊂平面DEC1，∴AB⊥C1E．
∵AE=EB，BC1=AB=4，
∴AC1=BC1=4．             …（14分）