Question

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，b=1，记角A=x，a+c=f （x）．
（Ⅰ）当x∈[，]时，求f （x）的取值范围；
（Ⅱ）若，求sin2x的值．

Answer

（Ⅰ）根据A、B、C成等差数列和三角形内角和，求得B，进而利用正弦定理求得b，进而把a和c的表达式代入函数，利用两角和公式化简整理求得函数的解析式，进而根据x的范围利用正弦函数的性质求得函数的最大和最小值．
（Ⅱ）把x-代入函数解析式，求得sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，代入正弦函数的二倍角公式中即可求得答案．
【解析】
（I）由已知A、B、C成等差数列，得2B=A+C，
∵在△ABC中，A+B+C=π，于是解得，．
∵在△ABC中，，b=1，
∴=
===，
即．
由≤x≤得≤x+≤，于是≤f（x）≤2，
即f（x）的取值范围为[，2]．

（Ⅱ）∵，即．
∴．
若，此时由知x＞，这与矛盾．
∴x为锐角，故．
∴sin2x=2sinxcosx=．