Question

设f（x）=Asin（ωx+φ）（ω、A为正常数，x∈R），则f（0）=0是f（x）为奇函数的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

f（0）=0⇒f（0）=Asin（ω×0+ϕ）=Asinϕ=0⇒ϕ=kπ，k∈Z⇒f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒ϕ=kπ，k∈Z⇒f（0）=Asin（ω×0+kπ）=Asinkπ=0．所以f（0）=0是f（x）为奇函数的充要条件．
【解析】
若f（0）=0，
则f（0）=Asin（ω×0+ϕ）=Asinϕ=0，
∴ϕ=kπ，k∈Z，
∴f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．
若f（x）为奇函数，
则ϕ=kπ，k∈Z，
∴f（0）=Asin（ω×0+kπ）=Asinkπ=0．
所以f（0）=0是f（x）为奇函数的充要条件．
故选C．