Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，，且2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{b_n}满足，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{b_n}的通项公式以及前n项和T_n．

Answer

本题考查等差等比数列的证明、an与sn的关系的研究、求通项公式和求前n项和公式，
（Ⅰ）根据2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．可以获得使问题得证．
（Ⅱ）根据所证，构造数列{bn-an}，通过计算得，又，所以数列{bn-an}为等比数列得证．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上可以得到数列{bn-an}的通项公式，又根据（Ⅰ）数列{an}的通项公式可求，所以数列{bn}可求，进而可以求得前n项和．
（Ⅰ）证明：∵2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*），
∴当n≥2时，2an=2an-1+1，
可得．
∴数列{an}为等差数列．（4分）
（Ⅱ）证明：∵{an}为等差数列，公差，
∴（5分）
又3bn-bn-1=n（n≥2），
∴，
∴
=
=
=（8分）
又，
∴对n∈N*，bn-an≠0，得．
∴数列{bn-an}是首项为公比为等比数列．（9分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）得，
∴．（11分）
∵，
∴，
∴．
∴．（14分）