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已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前 n项和,且满足,...

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前 n项和,且满足manfen5.com 满分网,n∈N*.数列{bn}满足manfen5.com 满分网,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn
(2)若对任意的n∈N*,不等式manfen5.com 满分网恒成立,求实数λ的取值范围;
(3)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.
(1)在中,令n=1,n=2,即可求得数列的通项,利用裂项法,可求Tn; (2)分n为偶数、奇数时,利用分离参数法,通过求函数的最值,即可确定λ的取值范围; (3)利用等比数列的性质可得,进一步可得,由此可得结论. 【解析】 (1)在中,令n=1,n=2, 得,即        …(1分) 解得a1=1,d=2,∴an=2n-1 又∵an=2n-1时,满足,∴an=2n-1…(2分) ∵, ∴Tn=(1-+-+…+)=.   …(4分) (2)①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.    …(5分) ∵≥8,等号在n=2时取得. ∴此时λ 需满足λ<25.              …(6分) ②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.      …(7分) ∵是随n的增大而增大,∴n=1时,取得最小值-6. ∴此时λ 需满足λ<-21.            …(8分) 综合①、②可得λ的取值范围是λ<-21. …(9分) (3), 若T1,Tm,Tn成等比数列,则, 即.                           …(10分) 由,可得,即-2m2+4m+1>0, ∴.                 …(11分) 又m∈N,且m>1,所以m=2,此时n=12…(12分) 因此,当且仅当m=2,n=12时,数列T1,Tm,Tn中的T1,Tm,Tn成等比数列.…(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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