Question

设函数．
（1）已知f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y=2x-1，求实数a，b的值．
（2）若方程f（x）=λx²（λ＞0）有唯一实数解，求实数λ的值．

Answer

（1）求导函数，利用（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y=2x-1，建立方程组，从而可求实数a，b的值；
（2）因为方程f（x）=λx2有唯一实数解，所以λx2-lnx-x=0有唯一实数解，构造函数g（x）=λx2-lnx-x，利用g（x）=0有唯一解，再构造函数h（x）=2lnx+x-1，利用h（1）=0，可得方程的解，从而可求实数λ的值．
【解析】
（1）当x=1时，y=1，∴．
∵，即f′（1）=1-a-b=2，
∴a=0，b=-1．…（4分）
（2）因为方程f（x）=λx2有唯一实数解，所以λx2-lnx-x=0有唯一实数解．…（6分）
设g（x）=λx2-lnx-x，则．
令g'（x）=0，则2λx2-x-1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，方程有两异号根，设为x1＜0，x2＞0，因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…（8分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则即…（10分）
因为λ＞0，所以2lnx2+x2-1=0．（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1．因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1．
代入方程组解得λ=1．…（12分）