Question

三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是    （只写序号）
①   ②   ③   ④tanA+tanB+tanC＞0．

Answer

①两边同时平方可得，sinAcosA=-＜0，从而可判断
②由 可得，可得，但是角A，C的范围无法确定
③由，利用正弦定理可得，可求sinC，进而可求C，A
④利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理．
【解析】
①由，两边同时平方可得，sinAcosA=-＜0
∴sinA＞0，cosA＜0
∴，三角形ABC是钝角三角形
②由 可得
∴，但是角A，C的范围无法确定
③由，利用正弦定理可得，
∴sinC==
∵c＞b
∴C＞B=30°
∴或均不是锐角三角形
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角
正确的判断有④
故答案为：④