Question

已知向量，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其对称中心坐标．

Answer

（I）根据向量数量积的坐标运算公式，得=sin2x+1，=sinxcosx+，代入函数表达式，结合二倍角三角函数公式化简整理，得f（x）=，由三角函数周期公式可得最小正周期T；
（II）由三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，可得，最后结合三角函数图象对称中心的公式，可得函数图象的对称中心．
【解析】
（Ⅰ）∵
∴=sin2x+1，=sinxcosx+
∴
=…（2分）
=…（4分）
∵ω=2，∴…（6分）
（Ⅱ）向左平移个单位，得…（8分）
横坐标伸长为原来的3倍，得…（10分）
令，得x=，其中k∈Z
∴函数g（x）图象对称中心坐标坐标为：，其中k∈Z…（12分）