Question

已知函数在x=1处的切线与x轴平行，若函数f（x）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是    ．

Answer

求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同即可．
【解析】
求导函数可得f′（x）=ax2+ax-b
∵函数在x=1处的切线与x轴平行
∴f′（1）=0
∴2a-b=0
∴b=2a
∴f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2）（x-1），
令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1
x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反
∴函数在-2与1处取极值
∵图象经过四个象限
∴f（-2）•f（1）＜0，即（）（-1）＜0
∴＜a＜
故答案为：＜a＜