Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1；等比数列{b_n}中，b₁=1．若a₃+S₃=14，b₂S₂=12．
（I）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n+2b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n≥3ⁿ．

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d；等比数列{bn}的公比为q，根据a3+S3=14，b2S2=12，构建方程，即可求an与bn；
（Ⅱ）利用分组求和，求得数列的和，即可证得结论．
（I）【解析】
设等差数列{an}的公差为d；等比数列{bn}的公比为q，则
∵a3+S3=14，b2S2=12．
∴（1+2d）+（3+3d）=14，d（2+d）=12
∴d=2，q=3
∴an=1+2（n-1）=2n-1，bn=3n-1；
（Ⅱ）证明：∵cn=an+2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，
∴Tn=（1+3+…+2n-1）+2（1+3+32+…+3n-1）==n2+3n-1≥3n
∴Tn≥3n