Question

某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米．现以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
（I）为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置（用坐标表示），并求椭圆的方程；
（Ⅱ）为增强水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置．请确定点肘的位置，使此三角形区域面积最大．

Answer

（I）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a=20，2b=16，由椭圆定义知水雾喷射口的位置，并可得椭圆的方程；
（Ⅱ）记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l，则，要使△ABM的面积最大，则只需d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大，设出方程代入椭圆方程即可求解．
【解析】
（I）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a=20，2b=16，∴a=10，b=8，c=6
由椭圆定义知，水雾喷射口的位置应选择再椭圆的两个焦点处，其左边为（-6，0），（6，0）
椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题知A（10，0），B（8，0）
记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l
∵|AB|=2，∴
要使△ABM的面积最大，则只需d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大
∴l与椭圆相切于第三象限的点M，即为所求的点
∵，∴设l的方程为：y=-+m
代入到椭圆方程，消元可得32x2-40mx+25m2-1600=0①
令△=1600m2-4×32×（25m2-1600）=0，可得m=±，由题意，m=-8
代入（1），可得x=-5，代入直线l的方程，可得y=-4
∴M（-5，-4）
∴当点M选择在（-5，-4）时，三角形区域面积最大．