Question

已知函数，
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）若p²-p≥0，且至少存在一点x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先函数的导函数，然后求出f'（1）的值即为切线的斜率，然后利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0，然后利用参数分离法求解恒成立问题即可；
（Ⅲ）利用导数研究函数f（x）与g（x）在[1，e]上的单调性，求出最值，只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]成立，求出p的取值范围即可．
【解析】
（Ⅰ）当p=2时，函数，…（2分）
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．…（4分）
（Ⅱ）．令h（x）=px2-2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0…（6分）
即，故正实数p的取值范围是[1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，…（10分）
①当p＜0时，h（x）=px2-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
故当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；…（12分）
②当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，即，解得，
所以实数p的取值范围是．…（14分）