Question

已知圆C的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）是否存在斜率为的直线l与曲线C交于P、Q两不同点，使得（O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，否则，说明理由．

Answer

（1）先由题意求出切线方程，把切线方程与圆方程联立，求出直线AB的方程，由此能够求出椭圆方程．
（2）设存在直线满足题意，与椭圆联立，得x2+2mx+2m2-2=0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理和根的判别式结合题设条件得到不存在直线满足题意．
【解析】
（1）由题意：一条切线方程为：x=2，
设另一条切线方程为：y-4=k（x-2）．（2分）
则：，
解得：，此时切线方程为：
切线方程与圆方程联立得：，
则直线AB的方程为x+2y=2．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；
令y=0，得x=2，∴a=2
故所求椭圆方程为．（6分）
（2）设存在直线满足题意，
联立
整理得x2+2mx+2m2-2=0，
令P（x1，y1），Q（x2，y2），则
∴x1+x2=-2m，，
△=（2m）2-8（m2-1）＞0，即m2＜2．（8分）
由，
得：x1x2+y1y2=0，

=
所以，不满足m2＜2．（10分）
因此不存在直线满足题意．（12分）