Question

已知数列满足a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n和S_n；
（Ⅲ）求证．

Answer

（ I）由n=1，可求，由已知可得n≥2时，a1+2a2+…+2n-2an-1=，两式相减可求an
（II）由（I）可得=n•2n，利用错位相减可求和
（III）由（II）可知，=（n-1）•（1+1）n，只要证明Sn-2＞0即可
【解析】
（ I）n=1时，
∵a1+2a2+…+2n-1an=
∴n≥2时，a1+2a2+…+2n-2an-1=
两式相减可得，2n-1an=
∴
（II）【解析】
∵=n•2n
∴
2
两式相减可得，-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=
∴
（III）证明：由（II）可知，=（n-1）•（1+1）n
=（n-1）（）≥（n-1）（）=（n-1）（n+3）=n2+2n-3
∴
∴