Question

如图，A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设=λ₁，=λ₂．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁+λ₂的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁+λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设|AF1|=m，则|AF2|=3m根据题设及椭圆定义得方程组联立消去m求得a2=2c2，离心率可得．
（2）设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），分别表示出和，根据=λ1求得x1和y1的表达式代入x12+2y12=2c2中再与x2+2y2=2c2相减求得2x=cλ1-3c同理根据=λ2求得2x=-cλ2+3c两式相见即可求得λ1+λ2=6．说明λ1+λ2为定值．
【解析】
（Ⅰ）设|AF1|=m，则|AF2|=3m．
由题设及椭圆定义得，
消去m得a2=2c2，所以离心率．
（Ⅱ）设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），
则=（-C-x，-y），=（x1+C，y1）
∵=λ1，∴x1=--c，y1=-
又x2+2y2=2c2①，x12+2y12=2c2②，
将x1，y1代入②得：
（+c）2+2（）2=2c2即（c+x+cλ1）2=2y2=2λ1c2③；
③-①得：2x=cλ1-3c；
同理：由=λ2．得2x=-cλ2+3c；
∴cλ1-3c=-cλ2+3c，
∴λ1+λ2=6．